优秀教案 说课稿 评课稿 教学反思 学科试卷

2019届高三数学理科三角函数复习测试题

日期:2019-05-16  类别:学科试卷  编辑:学科吧  【下载本文Word版

第一节角的概念的推广与弧度制
A组
1.点P从(-1,0)出发,沿单位圆x2+y2=1顺时针方向运动π3弧长到达Q点,则Q点的坐标为________.
解析:由于点P从(-1,0)出发,顺时针方向运动π3弧长到达Q点,如图,因此Q点的坐标为(cos2π3,sin2π3),即Q(-12,32).答案:(-12,32)
2.设α为第四象限角,则下列函数值一定是负值的是________.
①tanα2 ②sinα2 ③cosα2 ④cos2α
解析:α为第四象限角,则α2为第二、四象限角,因此tanα2<0恒成立,应填①,其余三个符号可正可负.答案:①
3.若sinα<0且tanα>0,则α是第_______象限的角.
答案:三
4.函数y=|sinx|sinx+cosx|cosx|+|tanx|tanx的值域为________.
解析:当x为第一象限角时,sinx>0,cosx>0,tanx>0,y=3;
当x为第二象限角时,sinx>0,cosx<0,tanx<0,y=-1;
当x为第三象限角时,sinx<0,cosx<0,tanx>0,y=-1;
当x为第四象限角时,sinx<0,cosx>0,tanx<0,y=-1.答案:{-1,3}
5.若一个α角的终边上有一点P(-4,a),且sinα•cosα=34,则a的值为________.
解析:依题意可知α角的终边在第三象限,点P(-4,a)在其终边上且sinα•cosα=34,易得tanα=3或33,则a=-43或-433.答案:-43或-433
6.已知角α的终边上的一点P的坐标为(-3,y)(y≠0),且sinα=24y,求cosα,tanα的值.
解:因为sinα=24y=y(-3)2+y2,所以y2=5,
当y=5时,cosα=-64,tanα=-153;
当y=-5时,cosα=-64,tanα=153.
B组
1.已知角α的终边过点P(a,|a|),且a≠0,则sinα的值为________.
解析:当a>0时,点P(a,a)在第一象限,sinα=22;
当a<0时,点P(a,-a)在第二象限,sinα=22.答案:22
2.已知扇形的周长为6cm,面积是2cm2,则扇形的圆心角的弧度数是_____.
解析:设扇形的圆心角为αrad,半径为R,则
2R+α•R=612R2•α=2,解得α=1或α=4.答案:1或4
3.如果一扇形的圆心角为120°,半径等于10cm,则扇形的面积为________.
解析:S=12|α|r2=12×23π×100=1003π(cm2).答案:1003πcm2
4.若角θ的终边与168°角的终边相同,则在0°~360°内终边与θ3角的终边相同的角的集合为__________.答案:{56°,176°,296°}
5.若α=k•180°+45°(k∈Z),则α是第________象限.
解析:当k=2m+1(m∈Z)时,α=2m•180°+225°=m•360°+225°,故α为第三象限角;当k=2m(m∈Z)时,α=m•360°+45°,故α为第一象限角.
答案:一或三
6.设角α的终边经过点P(-6a,-8a)(a≠0),则sinα-cosα的值是________.
解析:∵x=-6a,y=-8a,∴r=(-6a)2+(-8a)2=10|a|,
∴sinα-cosα=yr-xr=-8a+6a10|a|=-a5|a|=±15.答案:±15
7.若点A(x,y)是300°角终边上异于原点的一点,则yx的值为________.
解析:yx=tan300°=-tan60°=-3.答案:-3
8.已知点P(sin3π4,cos3π4)落在角θ的终边上,且θ∈[0,2π),则θ的值为________.
解析:由sin3π4>0,cos3π4<0知角θ在第四象限,∵tanθ=cos3π4sin3π4=-1,θ∈[0,2π),∴θ=7π4.答案:7π4
9.已知角α的始边在x轴的非负半轴上,终边在直线y=kx上,若sinα=25,且cosα<0,则k的值为________.
解析:设α终边上任一点P(x,y),且|OP|≠0,∴y=kx,
∴r=x2+(kx)2=1+k2|x|.又sinα>0,cosα<0.∴x<0,y>0,
∴r=-1+k2x,且k<0.∴sinα=yr=kx-1+k2x=-k1+k2,又sinα=25.
∴-k1+k2=25,∴k=-2.答案:-2
10.已知一扇形的中心角是α,所在圆的半径是R.若α=60°,R=10cm,求扇形的弧长及该弧所在的弓形面积.
解:设弧长为l,弓形面积为S弓,∵α=60°=π3,R=10,∴l=103π(cm),
S弓=S扇-S△=12•103π•10-12•102sin60°=50(π3-32)(cm2).
11.扇形AOB的周长为8cm.
(1)若这个扇形的面积为3cm2,求圆心角的大小;
(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角的大小和弦长AB.
解:设扇形AOB的半径为r,弧长为l,圆心角为α,
(1)由题意可得2r+l=8,12lr=3,解得r=3,l=2,或r=1l=6,
∴α=lr=23或α=lr=6.
(2)∵2r+l=2r+αr=8,∴r=82+α.∴S扇=12αr2=12α•64(2+α)2=32α+4α+4≤4,
当且仅当α=4α,即α=2时,扇形面积取得最大值4.此时,r=82+2=2(cm),
∴|AB|=2×2sin1=4sin1(cm).
12.(1)角α的终边上一点P(4t,-3t)(t≠0),求2sinα+cosα的值;
(2)已知角β的终边在直线y=3x上,用三角函数定义求sinβ的值.
解:(1)根据题意,有x=4t,y=-3t,所以r=(4t)2+(-3t)2=5|t|,
①当t>0时,r=5t,sinα=-35,cosα=45,所以2sinα+cosα=-65+45=-25.
②当t<0时,r=-5t,sinα=-3t-5t=35,cosα=4t-5t=-45,
所以2sinα+cosα=65-45=25.
(2)设P(a,3a)(a≠0)是角β终边y=3x上一点,若a<0,则β是第三象限角,r=-2a,此时sinβ=3a-2a=-32;若a>0,则β是第一象限角,r=2a,
此时sinβ=3a2a=32.

第二节正弦函数和余弦函数的定义及诱导公式
A组
1.若cosα=-35,α∈(π2,π),则tanα=________.
解析:cosα=-35,α∈(π2,π),所以sinα=45,∴tanα=sinαcosα=-43.
答案:-43
2.若sinθ=-45,tanθ>0,则cosθ=________.
解析:由sinθ=-45<0,tanθ>0知,θ是第三象限角,故cosθ=-35.
答案:-35
3.若sin(π6+α)=35,则cos(π3-α)=________.
解析:cos(π3-α)=cos[π2-(π6+α)]=sin(π6+α)=35.答案:35
4.已知sinx=2cosx,则5sinx-cosx2sinx+cosx=______.
解析:∵sinx=2cosx,∴tanx=2,∴5sinx-cosx2sinx+cosx=5tanx-12tanx+1=95.
答案:95
5.(原创题)

若cos2θ+cosθ=0,则sin2θ+sinθ=________.
解析:由cos2θ+cosθ=0,得2cos2θ-1+cosθ=0,所以cosθ=-1或cosθ=12,当cosθ=-1时,有sinθ=0,当cosθ=12时,有sinθ=±32.于是sin2θ+sinθ=sinθ(2cosθ+1)=0或3或-3.答案:0或3或-3
6.已知sin(π-α)cos(-8π-α)=60169,且α∈(π4,π2),求cosα,sinα的值.
解:由题意,得2sinαcosα=1xxxx9.①又∵sin2α+cos2α=1,②
①+②得:(sinα+cosα)2=289169,②-①得:(sinα-cosα)2=49169.
又∵α∈(π4,π2),∴sinα>cosα>0,即sinα+cosα>0,sinα-cosα>0,
∴sinα+cosα=1713.③sinα-cosα=713,④
③+④得:sinα=1213.③-④得:cosα=513.
B组
1.已知sinx=2cosx,则sin2x+1=________.
解析:由已知,得tanx=2,所以sin2x+1=2sin2x+cos2x=2sin2x+cos2xsin2x+cos2x=2tan2x+1tan2x+1=95.答案:95
2.cos10π3=________.
解析:cos10π3=cos4π3=-cosπ3=-12.答案:-12
3.已知sinα=35,且α∈(π2,π),那么sin2αcos2α的值等于________.
解析:cosα=-1-sin2α=-45,sin2αcos2α=2sinαcosαcos2α=2sinαcosα=2×35-45=-32.
答案:-32
4.若tanα=2,则sinα+cosαsinα-cosα+cos2α=_________________.
解析:sinα+cosαsinα-cosα+cos2α=sinα+cosαsinα-cosα+cos2αsin2α+cos2α=tanα+1tanα-1+1tan2α+1=165.答案:165
5.已知tanx=sin(x+π2),则sinx=___________________.
解析:∵tanx=sin(x+π2)=cosx,∴sinx=cos2x,∴sin2x+sinx-1=0,解得sinx=5-12.答案:5-12
6.若θ∈[0,π),且cosθ(sinθ+cosθ)=1,则θ=________.
解析:由cosθ(sinθ+cosθ)=1⇒sinθ•cosθ=1-cos2θ=sin2θ⇒sinθ(sinθ-cosθ)=0⇒sinθ=0或sinθ-cosθ=0,又∵θ∈[0,π),∴θ=0或π4.答案:0或π4
7.已知sin(α+π12)=13,则cos(α+7π12)的值等于________.
解析:由已知,得cos(α+7π12)=cos[(α+π12)+π2]=-sin(α+π12)=-13.
答案:-13
8.若cosα+2sinα=-5,则tanα=________.
解析:由cosα+2sinα=-5,    ①sin2α+cos2α=1,②
将①代入②得(5sinα+2)2=0,∴sinα=-255,cosα=-55,∴tanα=2.
答案:2
9.已知f(α)=sin(π-α)cos(2π-α)tan(-α+3π2)cos(-π-α),则f(-31π3)的值为________.
解析:∵f(α)=sinα•cosα•cotα-cosα=-cosα,∴f(-313π)=-cosπ3=-12.答案:-12
10.求sin(2nπ+2π3)•cos(nπ+4π3)(n∈Z)的值.
解:(1)当n为奇数时,sin(2nπ+2π3)•cos(nπ+4π3)=sin2π3•cos[(n+1)π+π3]
=sin(π-π3)•cosπ3=sinπ3•cosπ3=32×12=34.
(2)当n为偶数时,sin(2nπ+2π3)•cos(nπ+4π3)=sin2π3•cos4π3=sin(π-π3)•cos(π+π3)=sinπ3•(-cosπ3)=32×(-12)=-34.
11.在△ABC中,若sin(2π-A)=-2sin(π-B),3cosA=-2cos(π-B),求△ABC的三内角.
解:由已知,得sinA=2sinB,    ①3cosA=2cosB,②
①2+②2得:2cos2A=1,即cosA=±22.
(1)当cosA=22时,cosB=32,又A、B是三角形内角,∴A=π4,B=π6,∴C=π-(A+B)=712π.(2)当cosA=-22时,cosB=-32.又A、B是三角形内角,∴A=34π,B=56π,不合题意.综上知,A=π4,B=π6,C=712π.
12.已知向量a=(3,1),向量b=(sinα-m,cosα).
(1)若a∥b,且α∈[0,2π),将m表示为α的函数,并求m的最小值及相应的α值;(2)若a⊥b,且m=0,求cos(π2-α)•sin(π+2α)cos(π-α)的值.
解:(1)∵a∥b,∴3cosα-1•(sinα-m)=0,∴m=sinα-3cosα=2sin(α-π3).
又∵α∈[0,2π),∴当sin(α-π3)=-1时,mmin=-2.
此时α-π3=32π,即α=116π.
(2)∵a⊥b,且m=0,∴3sinα+cosα=0.∴tanα=-33.
∴cos(π2-α)•sin(π+2α)cos(π-α)=sinα•(-sin2α)-cosα=tanα•2sinα•cosα
=tanα•2sinα•cosαsin2α+cos2α=tanα•2tanα1+tan2α=12.

第三节正弦函数与余弦函数的图像与性质
A组
1.已知函数f(x)=sin(x-π2)(x∈R),下面结论错误的是.
①函数f(x)的最小正周期为2π②函数f(x)在区间[0,π2]上是增函数
③函数f(x)的图象关于直线x=0对称④函数f(x)是奇函数
解析:∵y=sin(x-π2)=-cosx,y=-cosx为偶函数,
∴T=2π,在[0,π2]上是增函数,图象关于y轴对称.答案:④
2.函数y=2cos2(x-π4)-1是________.
①最小正周期为π的奇函数 ②最小正周期为π的偶函数 ③最小正周期为π2的奇函数 ④最小正周期为π2的偶函数
解析:y=2cos2(x-π4)-1=cos(2x-π2)=sin2x,∴T=π,且为奇函数.
答案:①
3.若函数f(x)=(1+3tanx)cosx,0≤x<π2,则f(x)的最大值为________.
解析:f(x)=(1+3•sinxcosx)•cosx=cosx+3sinx=2sin(x+π6),
∵0≤x<π2,∴π6≤x+π6<2π3,∴当x+π6=π2时,f(x)取得最大值2.答案:2
4.已知函数f(x)=asin2x+cos2x(a∈R)图象的一条对称轴方程为x=π12,则a的值为________.
解析:∵x=π12是对称轴,∴f(0)=f(π6),即cos0=asinπ3+cosπ3,∴a=33.
答案:33
5.设f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)的图象关于直线x=π3对称,它的最小正周期是π,则f(x)图象上的一个对称中心是________(写出一个即可).
解析:∵T=2π

ω=π,∴ω=2,又∵函数的图象关于直线x=π3对称,所以有sin(2×π3+φ)=±1,∴φ=k1π-π6(k1∈Z),由sin(2x+k1π-π6)=0得2x+k1π-π6=k2π(k2∈Z),∴x=π12+(k2-k1)π2,当k1=k2时,x=π12,∴f(x)图象的一个对称中心为(π12,0).答案:(π12,0)
6.设函数f(x)=3cos2x+sinxcosx-32.
(1)求函数f(x)的最小正周期T,并求出函数f(x)的单调递增区间;
(2)求在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和.
解:(1)f(x)=32(cos2x+1)+12sin2x-32=32cos2x+12sin2x=sin(2x+π3),
故T=π.由2kπ-π2≤2x+π3≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-512π≤x≤kπ+π12,
所以单调递增区间为[kπ-512π,kπ+π12](k∈Z).
(2)令f(x)=1,即sin(2x+π3)=1,则2x+π3=2kπ+π2(k∈Z).于是x=kπ+π12(k∈Z),∵0≤x<3π,且k∈Z,∴k=0,1,2,则π12+(π+π12)+(2π+π12)=13π4.
∴在[0,3π)内使f(x)取到最大值的所有x的和为134π.
B组
1.函数f(x)=sin(23x+π2)+sin23x的图象相邻的两条对称轴之间的距离是________.
解析:f(x)=cos2x3+sin2x3=2sin(2x3+π4),相邻的两条对称轴之间的距离是半个周期,T=2π23=3π,∴T2=3π2.答案:3π2
2.给定性质:a最小正周期为π;b图象关于直线x=π3对称.则下列四个函数中,同时具有性质ab的是________.
①y=sin(x2+π6)    ②y=sin(2x+π6)③y=sin|x|④y=sin(2x-π6)
解析:④中,∵T=2πω=π,∴ω=2.又2×π3-π6=π2,所以x=π3为对称轴.
答案:④
3.若π4<x<π2,则函数y=tan2xtan3x的最大值为__.
解析:π4<x<π2,tanx>1,令tan2x-1=t>0,则y=tan2xtan3x=2tan4x1-tan2x=2(t+1)2-t=-2(t+1t+2)≤-8,故填-8.答案:-8
4.(函数f(x)=sin2x+2cosx在区间[-23π,θ]上的最大值为1,则θ的值是________.
解析:因为f(x)=sin2x+2cosx=-cos2x+2cosx+1=-(cosx-1)2+2,又其在区间[-2π3,θ]上的最大值为1,可知θ只能取-π2.答案:-π2
5.若函数f(x)=2sinωx(ω>0)在[-2π3,2π3]上单调递增,则ω的最大值为________.
解析:由题意,得2π4ω≥2π3,∴0<ω≤34,则ω的最大值为34.答案:34
6.设函数y=2sin(2x+π3)的图象关于点P(x0,0)成中心对称,若x0∈[-π2,0],则x0=________.
解析:因为图象的对称中心是其与x轴的交点,所以由y=2sin(2x0+π3)=0,x0∈[-π2,0],得x0=-π6.答案:-π6
7.已知函数y=Asin(ωx+φ)+m的最大值为4,最小值为0,最小正周期为π2,直线x=π3是其图象的一条对称轴,则下面各式中符合条件的解析式是________.
①y=4sin(4x+π6)②y=2sin(2x+π3)+2③y=2sin(4x+π3)+2④y=2sin(4x+π6)+2
解析:因为已知函数的最大值为4,最小值为0,所以A+m=4m-A=0,解得A=m=2,又最小正周期为2πω=π2,所以ω=4,又直线x=π3是其图象的一条对称轴,将x=π3代入得sin(4×π3+φ)=±1,所以φ+4π3=kπ+π2(k∈Z),即φ=kπ-5π6(k∈Z),当k=1时,φ=π6.答案:④
8.有一种波,其波形为函数y=sinπ2x的图象,若在区间[0,t]上至少有2个波峰(图象的最高点),则正整数t的最小值是________.
解析:函数y=sinπ2x的周期T=4,若在区间[0,t]上至少出现两个波峰,则t≥54T=5.答案:5
9.已知函数f(x)=3sinωx+cosωx(ω>0),y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则f(x)的单调递增区间是________.
解析:∵y=3sinωx+cosωx=2sin(ωx+π6),且由函数y=f(x)与直线y=2的两个相邻交点间的距离为π知,函数y=f(x)的周期T=π,∴T=2πω=π,解得ω=2,∴f(x)=2sin(2x+π6).令2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2(k∈Z),得kπ-π3≤x≤kπ+π6(k∈Z).答案:[kπ-π3,kπ+π6](k∈Z)
10.已知向量a=(2sinωx,cos2ωx),向量b=(cosωx,23),其中ω>0,函数f(x)=a•b,若f(x)图象的相邻两对称轴间的距离为π.(1)求f(x)的解析式;(2)若对任意实数x∈[π6,π3],恒有|f(x)-m|<2成立,求实数m的取值范围.
解:(1)f(x)=a•b=(2sinωx,cos2ωx)•(cosωx,23)=sin2ωx+3(1+cos2ωx)=2sin(2ωx+π3)+3.∵相邻两对称轴的距离为π,∴2π2ω=2π,∴ω=12,
∴f(x)=2sin(x+π3)+3.
(2)∵x∈[π6,π3],∴x+π3∈[π2,2π3],∴23≤f(x)≤2+3.又∵|f(x)-m|<2,
∴-2+m<f(x)<2+m.,若对任意x∈[π6,π3],恒有|f(x)-m|<2成立,则有
-2+m≤23,2+m≥2+3,解得3≤m≤2+23.
11.设函数f(x)=a•b,其中向量a=(2cosx,1),b=(cosx,3sin2x+m).
(1)求函数f(x)的最小正周期和在[0,π]上的单调递增区间;
(2)当x∈[0,π6]时,f(x)的最大值为4,求m的值.
解:(1)∵f(x)=a•b=2cos2x+3sin2x+m=2sin(2x+π6)+m+1,
∴函数f(x)的最小正周期T=2π2=π.
在[0,π]上的单调递增区间为[0,π6],[2π3,π].
(2)当x∈[0,π6]时,∵f(x)单调递增,∴当x=π6时,f(x)取得最大值为m+3,即m+3=4,解之得m=1,∴m的值为1.
12.已知函数f(x)=3sinωx-2sin2ωx2+m(ω>0)的最小正周期为3π,且当x∈[0,π]时,函数f(x)的最小值为0.(1)求函数f(x)的表达式;(2)在△ABC中,若f(C)=1,且2sin2B=cosB+cos(A-C),求sinA的值.
解:(1)f(x)=3sinωx+cosωx-1+m=2sin(ωx+π6)-1+m.
依题意,函数f(x)的最小正周期为3π,即2πω=3π,解得ω=23.
∴f(x)=2sin(2x3+π6)-1+m.
当x∈[0,π]时,π6≤2x3+π6≤5π6,12≤sin(2x3+π6)≤1,
∴f(x)的最小值为m.依题意,m=0.∴f(x)=2sin(2x3+π6)-1.
(2)由题意,得f(C)=2sin(2C3+π6)-1=1,∴sin(2C3+π6)=1.
而π6≤2C3+π6≤5π6,∴2C3+π6=π2,解得C=π2.∴A+B=π2.
在Rt△ABC中,∵A+B=π2,2sin2B=cosB+cos(A-C).
∴2cos2A-sinA-sinA=0,解得sinA=-1±52.∵0<sinA<1,∴sinA=5-12.

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第四节函数f(x)=Asin(ωx+φ)的图像
A组
1.已知a是实数,则函数f(x)=1+asinax的图象不可能是________.
解析:函数的最小正周期为T=2π|a|,∴当|a|>1时,T<2π.当0<|a|<1时,T>2π,观察图形中周期与振幅的关系,发现④不符合要求.答案:④
2.将函数y=sinx的图象向左平移φ(0≤φ<2π)个单位后,得到函数y=sin(x-π6)的图象,则φ等于________.
解析:y=sin(x-π6)=sin(x-π6+2π)=sin(x+11π6).答案:11π6
3.将函数f(x)=3sinx-cosx的图象向右平移φ(φ>0)个单位,所得图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为________.
解析:因为f(x)=3sinx-cosx=2sin(x-π6),f(x)的图象向右平移φ个单位所得图象对应的函数为奇函数,则φ的最小值为5π6.
答案:5π6
4.如图是函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,-π<φ<π),x∈R的部分图象,则下列命题中,正确命题的序号为________.
①函数f(x)的最小正周期为π2;
②函数f(x)的振幅为23;
③函数f(x)的一条对称轴方程为x=712π;
④函数f(x)的单调递增区间为[π12,712π];
⑤函数的解析式为f(x)=3sin(2x-23π).
解析:据图象可得:A=3,T2=5π6-π3⇒T=π,故ω=2,又由f(7π12)=3⇒sin(2×7π12+φ)=1,解得φ=2kπ-2π3(k∈Z),又-π<φ<π,故φ=-2π3,故f(x)=3sin(2x-2π3),依次判断各选项,易知①②是错误的,由图象易知x=7π12是函数图象的一条对称轴,故③正确,④函数的单调递增区间有无穷多个,区间[π12,7π12]只是函数的一个单调递增区间,⑤由上述推导易知正确.答案:③⑤
5.已知函数f(x)=sinωx+cosωx,如果存在实数x1,使得对任意的实数x,都有f(x1)≤f(x)≤f(x1+xxxx)成立,则ω的最小值为________.
解析:显然结论成立只需保证区间[x1,x1+xxxx]能够包含函数的至少一个完整的单调区间即可,且f(x)=sinωx+cosωx=2sin(ωx+π4),则xxxx≥2πω2⇒ω≥πxxxx.答案:πxxxx
6.已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωx•sin(ωx+π2)+2cos2ωx,x∈R(ω>0),在y轴右侧的第一个最高点的横坐标为π6.(1)求ω;
(2)若将函数f(x)的图象向右平移π6个单位后,再将得到的图象上各点横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)的最大值及单调递减区间.
解:(1)f(x)=32sin2ωx+12cos2ωx+32=sin(2ωx+π6)+32,
令2ωx+π6=π2,将x=π6代入可得:ω=1.
(2)由(1)得f(x)=sin(2x+π6)+32,
经过题设的变化得到的函数g(x)=sin(12x-π6)+32,
当x=4kπ+43π,k∈Z时,函数取得最大值52.
令2kπ+π2≤12x-π6≤2kπ+32π(k∈Z),
∴4kπ+4π3≤x≤4kπ+103π(k∈Z).
即x∈[4kπ+4π3,4kπ+103π],k∈Z为函数的单调递减区间.
B组
1.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,-π≤φ<π)的图象如图所示,则φ=________.
解析:由图可知,T2=2π-34π,
∴T=52π,∴2πω=52π,∴ω=45,
∴y=sin(45x+φ).
又∵sin(45×34π+φ)=-1,
∴sin(35π+φ)=-1,
∴35π+φ=32π+2kπ,k∈Z.
∵-π≤φ<π,∴φ=910π.答案:910π
2.已知函数y=sin(ωx+φ)(ω>0,|φ|<π)的图象如图所示,则φ=________.
解析:由图象知T=2(2π3-π6)=π.
∴ω=2πT=2,把点(π6,1)代入,可得2×π6+φ=π2,φ=π6.答案:π6
3.已知函数f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,为了得到函数g(x)=cosωx的图象,只要将y=f(x)的图象________.
解析:∵f(x)=sin(ωx+π4)(x∈R,ω>0)的最小正周期为π,
∴2πω=π,故ω=2.
又f(x)=sin(2x+π4)∴g(x)=sin[2(x+π8)+π4]=sin(2x+π2)=cos2x.
答案:向左平移π8个单位长度
4.已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)的图象如图所示,f(π2)=-23,则f(0)=________.
解析:T2=1112π-712π=π3,∴ω=2πT=3.
又(712π,0)是函数的一个上升段的零点,
∴3×712π+φ=3π2+2kπ(k∈Z),得φ=-π4+2kπ,k∈Z,
代入f(π2)=-23,得A=223,∴f(0)=23.答案:23
5.将函数y=sin(2x+π3)的图象向________平移________个单位长度后所得的图象关于点(-π12,0)中心对称.
解析:由y=sin(2x+π3)=sin2(x+π6)可知其函数图象关于点(-π6,0)对称,因此要使平移后的图象关于(-π12,0)对称,只需向右平移π12即可.答案:右 π12
6.定义行列式运算:a1 a2a3 a4=a1a4-a2a3,将函数f(x)=3 cosx1 sinx的图象向左平移m个单位(m>0),若所得图象对应的函数为偶函数,则m的最小值是________.
解析:由题意,知f(x)=3sinx-cosx=2(32sinx-12cosx)=2sin(x-π6),
其图象向左平移m个单位后变为y=2sin(x-π6+m),平移后其对称轴为x-π6+m=kπ+π2,k∈Z.若为偶函数,则x=0,所以m=kπ+2π3(k∈Z),故m的最小值为2π3.答案:2π3
7.若将函数y=tan(ωx+π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后,与函数y=tan(ωx+π6)的图象重合,则ω的最小值为________.
解析:y=tan(ωx+π4)向右平移π6个单位长度后得到函数解析式y=tan[ω(x-π6)+π4],即y=tan(ωx+π4-πω6),显然当π4-πω6=π6+kπ(k∈Z)时,两图象重合,此时ω=12-6k(k∈Z).∵ω>0,∴k=0时,ω的最小值为12.答案:12
8.给出三个命题:①函数y=|sin(2x+π3)|的最小正周期是π2;②函数y=sin(x-3π2)在区间[π,3π2]上单调递增;③x=5π4是函数y=sin(2x+5π6)的图象的一条对称轴.其中真命题的个数是________.
解析:由于函数y=sin(2x+π3)的最小正周期是π,故函数y=|sin(2x+π3)|的最小正周期是π2,①正确;y=sin(x-3π2)=cosx,该函数在[π,3π2)上单调递增,②正确;当x=5π4时,y=sin(2x+5π6)=sin(5π2+5π6)=sin(π2+5π6)=cos5π6=-32,不等于函数的最值,故x=5π4不是函数y=sin(2x+5π6)的图象的一条对称轴,③不正确.答案:2
9.当0≤x≤1时,不等式sinπx2≥kx恒成立,则实数k的取值范围是________.
解析:当0≤x≤1时,y=sinπx2的图象如图所示,y=kx的图象在[0,1]之间的部分应位于此图象下方,

当k≤0时,y=kx在[0,1]上的图象恒在x轴下方,原不等式成立.
当k>0,kx≤sinπx2时,在x∈[0,1]上恒成立,k≤1即可.
故k≤1时,x∈[0,1]上恒有sinπx2≥kx.答案:k≤1
10.设函数f(x)=(sinωx+cosωx)2+2cos2ωx(ω>0)的最小正周期为2π3.(1)求ω的值;(2)若函数y=g(x)的图象是由y=f(x)的图象向右平移π2个单位长度得到,求y=g(x)的单调增区间.
解:(1)f(x)=sin2ωx+cos2ωx+2sinωx•cosωx+1+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx+2=2sin(2ωx+π4)+2,依题意,得2π2ω=2π3,故ω=32.
(2)依题意,得g(x)=2sin[3(x-π2)+π4]+2=2sin(3x-5π4)+2.
由2kπ-π2≤3x-5π4≤2kπ+π2(k∈Z),解得23kπ+π4≤x≤23kπ+7π12(k∈Z).
故g(x)的单调增区间为[23kπ+π4,23kπ+7π12](k∈Z).
11.已知函数f(x)=Asin(ωx+φ),x∈R(其中A>0,ω>0,0<φ<π2)的周期为π,且图象上一个最低点为M(2π3,-2).
(1)求f(x)的解析式;(2)当x∈[0,π12]时,求f(x)的最值.
解:(1)由最低点为M(2π3,-2)得A=2.由T=π得ω=2πT=2ππ=2.
由点M(2π3,-2)在图象上得2sin(4π3+φ)=-2,即sin(4π3+φ)=-1,
∴4π3+φ=2kπ-π2(k∈Z),即φ=2kπ-11π6,k∈Z.又φ∈(0,π2),∴φ=π6,
∴f(x)=2sin(2x+π6).
(2)∵x∈[0,π12],∴2x+π6∈[π6,π3],∴当2x+π6=π6,即x=0时,f(x)取得最小值1;当2x+π6=π3,即x=π12时,f(x)取得最大值3.
12.已知函数f(x)=sin(ωx+φ),其中ω>0,|φ|<π2.
(1)若cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0,求φ的值;
(2)在(1)的条件下,若函数f(x)的图象的相邻两条对称轴之间的距离等于π3,求函数f(x)的解析式;并求最小正实数m,使得函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数是偶函数.
解:法一:(1)由cosπ4cosφ-sin3π4sinφ=0得cosπ4cosφ-sinπ4sinφ=0,
即cos(π4+φ)=0.又|φ|<π2,∴φ=π4.
(2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+π4).依题意,T2=π3,又T=2πω,故ω=3,
∴f(x)=sin(3x+π4).函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为
g(x)=sin[3(x+m)+π4],g(x)是偶函数当且仅当3m+π4=kπ+π2(k∈Z),
即m=kπ3+π12(k∈Z).从而,最小正实数m=π12.
法二:(1)同法一.
(2)由(1)得,f(x)=sin(ωx+π4).依题意,T2=π3.又T=2πω,故ω=3,
∴f(x)=sin(3x+π4).
函数f(x)的图象向左平移m个单位后所对应的函数为g(x)=sin[3(x+m)+π4].
g(x)是偶函数当且仅当g(-x)=g(x)对x∈R恒成立,
亦即sin(-3x+3m+π4)=sin(3x+3m+π4)对x∈R恒成立.
∴sin(-3x)cos(3m+π4)+cos(-3x)•sin(3m+π4)
=sin3xcos(3m+π4)+cos3xsin(3m+π4),
即2sin3xcos(3m+π4)=0对x∈R恒成立.∴cos(3m+π4)=0,故3m+π4=kπ+π2(k∈Z),∴m=kπ3+π12(k∈Z),从而,最小正实数m=π12.

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