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2019年高二数学理科上学期期末试题(有)

日期:2019-05-16  类别:学科试卷  编辑:学科吧  【下载本文Word版

中国学科吧(jsfw8.com)为大家搜集整理了xxxx年高二数学理科上学期期末试题,供大家参考,希望对大家有所帮助!

一、选择题:本大题共7小题,每小题5分,共35分.在每个小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.复数i+i2在复平面内表示的点在

A.第一象限

B.第二象限

C.第三象限

D.第四象限

2.设x∈R,则x>e的一个必要不充分条件是

A.x>1B.x<1

C.x>3D.x<3

3.若f(x)=2cosα-sinx,则f′(α)等于

A.-sinα

B.-cosα

C.-2sinα-cosα

D.-3cosα

4.下列三句话按三段论的模式排列顺序正确的是

①z1,z2不能比较大小;②虚数不能比较大小;③z1,z2是虚数.

A.①②③B.②①③

C.②③①D.③②①

5.若a=(1,λ,2),b=(2,-1,1),a与b的夹角为60°,则λ的值为

A.17或-1B.-17或1

C.-1D.1

6.设F1,F2是椭圆+=1(a>5)的两个焦点,且|F1F2|=8,弦AB过点F1,则△ABF2的周长为

A.10

B.20

C.2

D.4

7.对于R上可导的任意函数f(x),若满足(x-2)f′(x)≤0,则必有

A.f(-3)+f(3)<2f(2)

B.f(-3)+f(7)>2f(2)

C.f(-3)+f(3)≤2f(2)

D.f(-3)+f(7)≥2f(2)

二、填空题:本大题共6个小题,每小题5分,共30分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

8.复数10的值是      .

9.用反证法证明命题:“若x,y>0,且x+y>2,则,中至少有一个小于2”时,假设的内容应为              .

10.已知等差数列{an}中,有=成立.类似地,在等比数列{bn}中,有             成立.

11.曲线y=sinx在[0,π]上与x轴所围成的平面图形的面积为 .

12.已知函数f(x)=x(x-c)2在x=2处有极大值,则c的值为     .

13.正整数按下列方法分组:{1},{2,3,4},{5,6,7,8,9},{10,11,12,13,14,15,16},…,记第n组中各数之和为An;由自然数的立方构成下列数组:{03,13},{13,23},{23,33},{33,43},…,记第n组中后一个数与前一个数的差为Bn,则An+Bn=     .

三、解答题:本大题共3小题,共35分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

14.(本小题满分11分)

已知函数f(x)=ax3+(a-1)x2+27(a-2)x+b的图象关于原点成中心对称,试判断f(x)在区间[-4,5]上的单调性,并求出f(x)在区间[-4,5]上的最值.

15.(本小题满分12分)

已知数列{an}满足Sn+an=2n+1.

(1)写出a1,a2,a3,并推测an的表达式;

(2)用数学归纳法证明所得的结论.

16.(本小题满分12分)

如图,已知四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,且AC=AB=BC=2,PA⊥平面ABCD,E,F分别是BC,PC的中点.

(1)证明:AE⊥PD;

(2)若H为PD上一点,且AH⊥PD,EH与平面PAD所成角的正切值为,求二面角E-AF-C的余弦值.

考试卷Ⅱ

一、选择题:本大题共1个小题,每小题5分,满分5分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.

1.定义在R上的函数f(x)的导函数f′(x)的图像如图,若两个正数a,b满足f(2a+b)<1,且f(4)=1,则的取值范围是

A.

B.∪(5,+∞)

C.(-∞,3)

D.

二、填空题:本大题共1个小题,每小题5分,共5分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上.

2.设函数f(x)=x(x+k)(x+2k)(x-3k),且f′(0)=6,则k=     .

三、解答题:本大题共3小题,共40分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.

3.(本小题满分13分)

某电视生产企业有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动,若企业投放A、B两种型号电视机的价值分别为a、b万元,则农民购买电视机获得的补贴分别为a、mln(b+1)万元(m>0且为常数).已知该企业投放总价值为10万元的A、B两种型号的电视机,且A、B两种型号的投放金额都不低于1万元.

(1)请你选择自变量,将这次活动中农民得到的总补贴表示为它的函数,并求其定义域;

(2)求当投放B型电视机的金额为多少万元时,农民得到的总补贴最大?

4.(本小题满分13分)

已知椭圆C:+=1(a>b>0)的离心率为,以椭圆C的左顶点T为圆心作圆T:(x+2)2+y2=r2(r>0),设圆T与椭圆C交于点M与点N.

(1)求椭圆C的方程;

(2)求·的最小值,并求此时圆T的方程;

(3)设点P是椭圆C上异于M,N的任意一点,且直线MP,NP分别与x轴交于点R,S,O为坐标原点,求证:·为定值.

5.(本小题满分14分)

已知函数f(x)=ex,x∈R.

(1)若直线y=kx+1与f(x)的反函数的图象相切,求实数k的值;

(2)设x>0,讨论曲线y=与直线y=m(m>0)公共点的个数;

(3)设函数h满足x2h′(x)+2xh(x)=,h(2)=,试比较h(e)与的大小.

湖南师大附中2015届高二第一学期期末考试试题

数学(理科)参考答案

必考试卷Ⅰ

又∵函数f(x)在[-4,5]上连续.

∴f(x)在(-3,3)上是单调递减函数,在(-4,-3)和(3,5)上是单调递增函数.(9分)

∴f(x)的最大值是54,f(x)的最小值是-54.(11分)

15.解:(1)a1=,a2=,a3=,….猜测an=2-(5分)

(2)①由(1)已得当n=1时,命题成立;(7分)

②假设n=k时,命题成立,即ak=2-,(8分)

当n=k+1时,a1+a2+……+ak+ak+1+ak+1=2(k+1)+1,

且a1+a2+……+ak=2k+1-ak

∴2k+1-ak+2ak+1=2(k+1)+1=2k+3,

∴2ak+1=2+2-,ak+1=2-,

即当n=k+1时,命题成立.(11分)

根据①②得n∈N+时,an=2-都成立.(12分)

16.(1)证明:由AC=AB=BC,可得△ABC为正三角形.

因为E为BC的中点,所以AE⊥BC.

又BC∥AD,因此AE⊥AD.

>

因为PA⊥平面ABCD,AE⊂平面ABCD,所以PA⊥AE.

而PA⊂平面PAD,AD⊂平面PAD且PA∩AD=A,

所以AE⊥平面PAD.又PD⊂平面PAD,

所以AE⊥PD.(5分)

(2)解:因为AH⊥PD,

由(1)知AE⊥平面PAD,

则∠EHA为EH与平面PAD所成的角.

在Rt△EAH中,AE=,

此时tan∠EHA===,

在Rt△AOE中,EO=AE·sin30°=,AO=AE·cos30°=,

又F是PC的中点,在Rt△ASO中,SO=AO·sin45°=,

又SE===,

在Rt△ESO中,cos∠ESO===,

即所求二面角的余弦值为.(12分)

解法二:由(1)知AE,AD,AP两两垂直,以A为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系,又E,F分别为BC,PC的中点,所以

A(0,0,0),B(,-1,0),C(,1,0),D(0,2,0),P(0,0,2),E(,0,0),

F,

所以=(,0,0),

=.

所以cos〈m,〉===.

因为二面角E-AF-C为锐角,所以所求二面角的余弦值为.(12分)

必考试卷Ⅱ

一、选择题

1.D 【解析】由图像可知f(x)在(-∞,0)递减,在(0,+∞)递增,所以f(2a+b)<1即2a+b<4,原题等价于,求的取值范围.画出不等式组表示的可行区域,利用直线斜率的意义可得∈.

二、填空题

2.-1 【解析】思路分析:按导数乘积运算法则先求导,然后由已知条件构造关于k的方程求解.

f′(x)=(x+k)(x+2k)(x-3k)+x(x+2k)(x-3k)+x(x+k)(x-3k)+x(x+k)(x+2k)

故f′(0)=-6k3,又f′(0)=6,故k=-1.

三、解答题

3.解:(1)设投放B型电视机的金额为x万元,则投放A型电视机的金额为(10-x)万元,农民得到的总补贴f(x)=(10-x)+mln(x+1)=mln(x+1)-+1,(1≤x≤9).(5分)(没有指明x范围的扣1分)

(2)f′(x)=-==,

令y′=0,得x=10m-1(8分)

1° 若10m-1≤1即0

2° 若1<10m-1<9即

3° 若10m-1≥9即m≥1,则f(x)在[1,9]是增函数,当x=9时,f(x)有最大值.

因此,当0

当m≥1时,投放B型电视机9万元,农民得到的总补贴最大.(13分)

4.解:(1)依题意,得a=2,e==,∴c=,b==1;

故椭圆C的方程为+y2=1.(3分)

(2)方法一:点M与点N关于x轴对称,

设M(x1,y1),N(x1,-y1),不妨设y1>0.

由于点M在椭圆C上,

所以y=1-.(*)(4分)

由已知T(-2,0),则=(x1+2,y1),=(x1+2,-y1),

∴·=(x1+2,y1)·(x1+2,-y1)=(x1+2)2-y=(x1+2)2-=x+4x1+3

方法二:点M与点N关于x轴对称,故设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),

不妨设sinθ>0,由已知T(-2,0),则

·=(2cosθ+2,sinθ)·(2cosθ+2,-sinθ)=(2cosθ+2)2-sin2θ=5cos2θ+8cosθ+3=52-.(6分)

故当cosθ=-时,·取得最小值为-,此时M,

又点M在圆T上,代入圆的方程得到r2=.

故圆T的方程为:(x+2)2+y2=.(8分)

(3)方法一:设P(x0,y0),则直线MP的方程为:

y-y0=(x-x0),

令y=0,得xR=,同理:xS=,(10分)

故xR·xS=(**)(11分)

又点M与点P在椭圆上,故x=4(1-y),x=4(1-y),(12分)

代入(**)式,得:xR·xS===4.

所以·=·==4为定值.(13分)

方法二:设M(2cosθ,sinθ),N(2cosθ,-sinθ),不妨设sinθ>0,P(2cosα,sinα),其中sinα≠±sinθ.则直线MP的方程为:y-sinα=(x-2cosα),

令y=0,得xR=,

同理:xS=,(12分)

故xR·xS===4.

所以·=·==4为定值.(13分)

5.解:(1)f的反函数g(x)=lnx.设直线y=kx+1与g(x)=lnx相切于点P(x0,y0),则⇒x0=e2,k=e-2.所以k=e-2.(3分)

(2)当x>0,m>0时,曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)的公共点个数

即方程f(x)=mx2根的个数.

由f(x)=mx2⇒m=,令v(x)=⇒v′(x)=,

则v(x)在(0,2)上单调递减,这时v(x)∈(v(2),+∞);

v(x)在(2,+∞)上单调递增,这时v(x)∈(v(2),+∞).v(2)=.

v(2)是y=v(x)的极小值,也是最小值.(5分)

所以对曲线y=f(x)与曲线y=mx2(m>0)公共点的个数,讨论如下:

当m∈时,有0个公共点;

当m=时,有1个公共点;

当m∈时有2个公共点;(8分)

(3)令F(x)=x2h(x),则F′(x)=x2h′(x)+2xh=

所以h=,故h′===

令G(x)=ex-2F(x),则G′(x)=ex-2F′(x)=ex-2·=

显然,当0

当x>2时,G′(x)>0,G(x)单调递增;

所以,在(0,+∞)范围内,G(x)在x=2处取得最小值G(2)=0.

即x>0时,ex-2F(x)≥0.

故在(0,+∞)内,h′(x)≥0,

所以h(x)在(0,+∞)单调递增,

又因为h(2)==>,h(2)

所以h(e)>.(14分)

xxxx年高二数学理科上学期期末试题就为大家整理到这儿了,同学们要好好复习。更多精彩内容尽在中国学科吧(jsfw8.com)。

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