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离散型随机变量的期望说案
高中数学第三册（选修）Ⅱ第一章第2节第一课时
福建师大附中数学组：李沪君
一、教材分析
教材的地位和作用
期望是概率论和数理统计的重要概念之一，是反映随机变量取值分布的特征数，学习期望将为今后学习概率统计知识做铺垫。同时，它在市场预测，经济统计，风险与决策等领域有着广泛的应用，为今后学习数学及相关学科产生深远的影响。
教学重点与难点
重点：离散型随机变量期望的概念及其实际含义。
难点：离散型随机变量期望的实际应用。
[理论依据]本课是一节概念新授课，而概念本身具有一定的抽象性，学生难以理解，因此把对离散性随机变量期望的概念的教学作为本节课的教学重点。此外，学生初次应用概念解决实际问题也较为困难，故把其作为本节课的教学难点。
二、教学目标
[知识与技能目标]
通过实例，让学生理解离散型随机变量期望的概念，了解其实际含义。
会计算简单的离散型随机变量的期望，并解决一些实际问题。
[过程与方法目标]
经历概念的建构这一过程，让学生进一步体会从特殊到一般的思想，培养学生归纳、概括等合情推理能力。
通过实际应用，培养学生把实际问题抽象成数学问题的能力和学以致用的数学应用意识。
[情感与态度目标]
通过创设情境激发学生学习数学的情感，培养其严谨治学的态度。在学生分析问题、解决问题的过程中培养其积极探索的精神，从而实现自我的价值。
三、教法选择
引导发现法
四、学法指导
"授之以鱼，不如授之以渔"，注重发挥学生的主体性，让学生在学习中学会怎样发现问题、分析问题、解决问题。
五、教学的基本流程设计
六、教学过程
教学环节教学内容
设计意图
创
设
情
境
引
入
新
课
[情境一]
某商场要将单价分别为18，24，36的3种糖果按3：2：1的比例混合销售，其中混合糖果中每一颗糖果的质量都相等，如何对混合糖果定价才合理？
[情境二]
若此商场经理打算在国庆节那天在商场外举行促销活动，如果不遇到雨天可获得经济效益10万元，如果遇到雨天则要损失4万元，据9月30日气象台预报国庆节那天有雨的概率是40，则此商场平均可获得经济效益多少元？[情境一]和[情境二]中的问题所涉及的是生活中常见的一种商业现象，问题的生活化可激发学生的兴趣和求知欲望，同样这样的问题也影响学生的思维方式，学会用数学的视野关注身边的数学。
建构概念 学生在未学习期望的概念之前解法可能如下：
[情境一]解答：
根据混合糖果中3种糖果的比例可知在1kg的混合糖果中，3种糖果的质量分别是kg，kg和kg，则混合糖果的合理价格应该是18×24×36×=23（）
[情境二]解答：
商场平均可获经济效益为10×0.6-4×0.4=4.4(万元)
为了将两个式子中的数字与随机变量的取值及其概率建立关系，归纳出期望的定义。
接着引导学生分析[情境一]
∵混合糖果中每颗糖果的质量都相等
∴在混合糖果中任取一粒糖果，它的单价为18，24或36的概率分别为，和，若用表示这颗糖果的价格，则每千克混合糖果的合理价格表示为
18×P（=18）24×P（=24）36×P（=36）
分析[情境二]得
商场平均可获经济效益为10×P（=10）（-4）×P（=-4）
这两个问题的解决将为归纳出期望的定义作铺垫。
细心的学生会发现以上两式从形式上具有某种相似性，通过比较，归纳出离散型随机变量期望的定义。
归纳是一种重要的推理方法，由具体结论归纳概括出定义能使学生的感性认识升华到理性认识，培养学生从特殊到一般的认知方法。
比较两式、归纳定义
一般地,若离散型随机变量的概率分布为
............
则称
为的数学期望或均值,数学期望又简称为期望。用文字语言描述抽象的数学公式
E=··...·...
即：离散型随机变量的数学期望即为随机变量取值与相应概率分别相乘后相加。
加深公式记忆理解概念练习1：离散型随机变量的概率分布
1
100
P
0.01
0.99
①求可能取值的算术平均数。
②求的期望。解答如下
①、可能取值的算术平均数为
②、E=1×0.01100×0.99=99.01练习2：随机抛掷一个骰子，求所得骰子的点数的期望。
结论：
若
则E=××...×
=
练习3：篮球运动员在比赛中每次罚球中得1分，罚不中得0分。已知某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分的均值是多少？
当学生求得E=0.7后，
提出问题：均值为0.7分的含义是什么？
（让学生理解所求得的E=0.7即为罚球1次平均得0.7分.我们也说他只能期望得0.7分.）
练习4:甲、乙两名射手一次射击中的得分为两个相互独立的随机变量与,且，的分布列为
1
2
3
P
0.3
0.1
0.61
2
3
P
0.3
0.4
0.3
两人的技术情况如何?请解释你所得结论的实际含义?
弄清数学概念、理解数学概念是学生学好数学的基础和前提，为了加深学生对概念的理解，设置以下4道练习。
其中练习1是为了让学生进一步理解期望是反映随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数。
所设置的两个问题将学生的注意力转而集中到对解题过程的分析，求得答案，进而通过对比，发现以下两个结论
①、随机变量相应数值的算术平均数并不能真正体现的期望。因为取值100的概率比取值1的概率大得多。
②、随机变量取值的算术平均数即为时的期望。
练习2与结论②相统一，更进一步说明取不同数值时的概率都相等时，随机变量的期望与相应数值的算术平均数相等。
这两道练习都是为了进一步理解期望的含义。
注意事项
①、区别与E
随机变量是可变的，可取不同的值。
而期望E是不变的，由的分布列唯一确定，所以称之为概率分布的数学期望，它反映了取值的平均水平。
②、区别随即机变量的期望与相应数值的算术平均数。
期望表示随机变量在随机试验中取值的平均值，它是概率意义下的平均值，不同于相应数值的算术平均数。实际应用例1：有一批数量很大的产品，其次品率是15℅。对这批产品进行抽查，每次抽出1件，如果抽出次品，则抽查终止，否则继续抽查，直到抽到次品，但抽查次数最多不超过10次。求抽查次数的期望。
教师强调：一般地，在产品抽查中已说明产品数量很大时，各次抽查结果可以认为是相互独立的。
解题中注意：取1～10的整数，前k-1次取到正品，而第k次取到次品的概率是P（=k）=
（k=1，2，3，...,9）
P（=10）=
解完此例题后归纳求离散型随机变量期望的步骤：
①、确定离散型随机变量的取值。
②、写出分布列，并检查分布列的正确与否。
③、求出期望。
例2：目前由于各种原因，许多人选择租车代步，租车行业生意十分兴隆，但由于租车者以新手居多，车辆受损事故频频发生。据统计，一年中一辆车受损的概率为0.03。现保险公司拟开设一年期租车保险,一辆车一年的保费为1000元,若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿3000元。
①一年内，一辆车保险公司平均收益多少？
②一辆车一年的保险费为1000元，若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿元，一年中一辆车受损的概率为0.03，则赔偿金至少定为多少元，保险公司才不亏本?
③若一辆车一年的保险费为元，若在一年内该车受损,则保险公司需赔偿元，一年中一辆车受损的概率为，则,，应满足什么关系，保险公司方可盈利。
解法一：
每辆车每年保险公司平均获利=保险费-赔偿费
当平均获利＞0时保险公司方可盈利。
故即时方可盈利。
解法二：
设表示盈利数，则随机变量的分布列为∴E==即时方可盈利。
生活中蕴涵数学知识,数学知识又能解决生活中的问题。两道例题与生活密切联系,让学生感受数学在生活及社会各个领域中的广泛应用。相对问题3，将具体问题数字化。解法二回归概念本质，紧扣应用概念解决实际问题。
归
纳
总
结
你有哪些收获？
一个概念，两个注意，三个步骤。
让学生知道理解概念是关键，掌握公式是前提，实际应用是深化。
小结除了注重知识，还注重引导学生对解题思路和方法的总结，可切实提高学生分析问题、解决问题的能力，并让学生养成良好的学习数学的方法和习惯。
作业
基础题、课后探究题七、评价分析
1、评价学生学习过程
本节课在情境创设，例题设置中注重与实际生活联系，让学生体会数学的应用价值，在教学中注意观察学生是否置身于数学学习活动中，是否精神饱满、兴趣浓厚、探究积极，并愿意与老师、同伴交流自己的想法。
2、评价学生的基础知识、基本技能和发现问题、解决问题的能力
教学中通过学生回答问题，学生举例，归纳总结等方面反馈学生对知识的理解、运用，教师根据反馈信息适时点拨，同时从新课标评价理念出发，鼓励学生发表自己的观点、充分质疑，并抓住学生在语言、思想等方面的的亮点给予表扬，树立自信心，帮助他们积极向上。
教学设计"说明"
本节的教学有如下特点：
（1）、注重情境创设，联系生活实际，关注身边数学。
（2）、期望概念的教学是本节课的重点，本节突出概念的建构，通过实例，引导学生分析，并归纳出定义；通过练习，层层递进，加深学生对概念的理解，帮助学生把握概念的本质特征，使学生的思维活起来；通过例题分析，让学生体会学习期望的意义。本节课以现实问题引入，以生活中的实例结束，让学生认识到数学源于生活，又应用于生活，生活中处处有数学。